jueves, 29 de agosto de 2013

Calculo atreves del tiempo

Esta rama Matemática no fue creada como tal con el fin de resolver algunos problemáticas actuales, sino como respuesta a varias necesidades e  inquietudes antiguas  que se deseaba satisfacer. Las más destacadas son las siguientes.
·         Encontrar el valor del área contenida en una región
·         Determinar el volumen de u sólido
·         Hallar el valor mínimo o exacto de una curva
·         Obtener la  velocidad y la aceleración que posee en un tiempo específico un cuerpo que se mueve
·         Determina la recta tangente en un punto específico de una curva contenida.
·         Obtener la longitud de un segmentó de una curva
Estas cuestiones fueron trabajadas durante muchos años, razón por la cual se fueron perfeccionando algunas técnicas añadiendo nuevas teorías matemáticas y físicas.
El principal concepto que se une a todos los pensadores de esta rama de las matemáticas es el límite.
Origen Geométrico
En la antigua Grecia se presentaron situaciones que dieron oportunidad a las primeras manifestaciones intuitivas de la idea del límite y por ende, del cálculo. Tales situaciones tuvieron que ver con el encuentro de procesos geométricos infinitos que surgieron con la paradoja de Zenón de Elea (490-425 a.c), el descubrimiento de los números irracionales y la comparación de aéreas y volúmenes de figuras curvilíneas por aproximación de figuras rectilíneas. El ejemplo de ello es el problema de calcular el área del círculo, lo cual proporciono una oportunidad para desarrollar herramientas  muy similares al concepto.

Concepción de Newton
Entre los aportes más importantes que Issac Newton (1634-1727) hizo a la evolución del cálculo, se encuentra el haberse dado cuenta de que para calcular una razón de cambio instantánea (velocidad instantánea) era necesario considerar procesos infinitos entre dos valores infinitamente próximos, por lo cual se enfoco en la resolución de:
·         Problemas de movimiento y variación que implica el calculo
·         Problemas de tangentes y cuadraturas
·         Rectificación de curvas
·         Máximos y mínimos
·         Series infinitas



El concepto de limite transita implícitamente en sus métodos, específicamente cuando calículo  la Fluxión: velocidad de cambio de la fuente (magnitud que fluye o varia con el tiempo).pero en donde esta mas cerca de la idea del límite en su método de la “primera y última razón de cantidades nacientes o evanescentes” que describe en su obra llamada Principia. Como se describió antes, el limite lo aplicaba a “magnitudes variables” que incluían tanto magnitudes geométricas como físicas.

Punto de partida de Leibniz
Del mismo modo que Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) estuvo profundamente  interesado en resolver problemas de movimiento y variación, pero a diferencia de Newton  a quien le interesaba la descripción científica de la generación de magnitudes,  a  Leibniz le preocupaba la explicación metafísica de tal generación. Sus métodos estuvieron más orientados al trabajo aritmético de sucesiones y a reconocer la potencia del álgebra y su simbolismo para el cálculo infinitesimal. Éste último es el aceptado por la comunidad matemática pues utilizo el símbolo “d” para la diferencia y “f” para la integral. El concepto limite que manejaba estuvo más orientado por su preocupación fisiológica y base en su principio de continuidad que enunciaba: “en cualquier supuesta transición que acaba en un término, es válido elaborar un razonamiento en el que el termino final quede incluido”.

Visión algebraica
La institución del concepto de límite y del cálculo transita implícitamente en los algoritmos y las formulas algebraicas. Esta concepción está determinada por los trabajos de las matemáticas que usaron el algebra como herramienta para obtener resultados a problemas que involucraban la noción de limite. Entre ellos están los siguientes.
Pierre de Fermat  (1601-1655). Es el primer matemático que tiene la idea de tomar un incremento diferencial conocido ahora  como variable independiente, y alianzar el comportamiento de la variable dependiente en su método para hallar máximos y mínimos de curvas polinomicas y que luego extiende a las tangentes. Este método no implica ningún concepto de limite, sino que únicamente algebraico.

Leonhard Euler (1701-1783) y los hermanos Bernoulli, Johan (1667-1748) y Jakob (1655-1705) tratando de resolver problemas de geodesia, física, mecánica, navegación, calendarios, movimiento de proyectiles y diseño de lentes, que exigían conocimiento cuantitativo, desarrollaron y aplicaron el cálculo de Leibniz de manera que generaron nuevas ramas de la matemática. Euler argumentaba que dy/dx  era  0/0 y que podía ser un numero bien definido usando propiedades del algebra finita. Le interesaba más que todo el resultado, y poco los fundamentos de los métodos. Incluso decía: “Para que probar lo más evidente con lo que es menos evidente”.



Joseph Lagrange (1736-1813) se interesó por buscar los fundamentos del cálculo infinitesimal del llamaba “horror al infinito”, por lo que para deshacerse del infinito y los infinitesimales, busco fundamentación del cálculo en el álgebra, en donde utilizo como propuesta, contenida en su obra Teoría analítica de funciones sin límites contribuye a independizar el análisis de lo geométrico y lo mecánico.

Concreción aritmética
Jean le Rond D´Alembert (1717-1738) propuso su obra la teoría de los limites como una solución al problema de los fundamentos del cálculo infinitesimal en su obra la teoría de limites siguiendo la tradición de cantidades variables. Entonces, con base en las definiciones de Jurin (1734) y de los Robins (1735) que interpretan la noción del límite de Newton, publico en la Enciclopedia de Diderot la siguiente definición. “Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera tan cerca como una cantidad a la que se acerca; de suerte que la diferencia de un SEMEJANTE cantidad  a su límite es absolutamente inasignable”.

Al matemático Augustin Cauchy (1789-1857) se le atribuye el mérito de ser el primero en institucionalizar el concepto de límite como objeto matemático, pues dicho concepto se usaba como una mera noción en los procesos de aproximación. La situación que llevo a Cauchy a la búsqueda del rigor fue su compromiso de enseñanza del cursi de análisis, en el cual se propone alejarse de la manipulación de fórmulas y figuras geométricas, y comienza por definir variable, limite e infinitesimal. Así define limite en su Cours de Analice, tomando como referencia la definición de D´Alembert; “cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo , de manera que termina por diferir del tanto como queremos, este último valor se llama límite de todos los demás”.

Ideología analítica en la primera mitad del siglo XIX la geometría se desestabilizo con la aparición de las geometrías no euclidianas. Los fundamentos del cálculo infinitesimal no se podían buscar en la geometría y entonces Karl Weierstrass (1815-11897) inicio el programa de aritmetizacion del análisis que consistía en fundamentarlo en el concepto de número real. Para llegar a la definición de limite, se requirió precisar la noción de número real, para lo cual se necesita el concepto de conjunto infinito que incorpora al infinito tal y como se conoce ahora; tarea que emprendieron simultáneamente Cantor, Dedekind, Weierstrass u Heme.
El cálculo sufrió una evolución muy abstracta a medida que los demás pensadores contribuyeron a alimentarla. Destacan Bernhard Bolzano (1781-1848), Agustín L Cauchy (1789-1857),Georg Friedrich Rieman (1826-1866) y Richard Dede Kind (1831-1916) ,entre  muchos  otros  cuyas contribuciones no seria posible detallar en esta obra.

En tiempos modernos el avance generado por la invención dela computadora programarle hizo que el análisis numérico, las matemáticas finitas, la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta tuvieran un gran aleado, además que dio origen a nuevas áreas de investigación, como es caso del estudio de los algoritmos .También ayudo a encontrar la solución de problemas que estaban causando dificultad desde hace muchos años. Aunque ahora se dispone de las soluciones de muchos problemas de la Antigüedad; se han estado añadiendo nuevos retos, razón por la cual la mente humana estará ocupada creando y adaptando lo que ya conoce con el fin de comprender, estudiar y analizar su entorno.     


conclución:
nosotros concluimos que gracias a las aportaciones de grandes investigadores hacia la teoría  del calculo diferencial ahora sabemos lo que es y para lo que nos puede servir en  nuestra vida cotidiana. ademas sabemos los cambios que a tenido a través del tiempo para poder llegar a lo que conocemos ahora.

referencias:
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal
 «An overview of Indian mathematics». Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Consultado el 07-07-2006.


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